Geometría: pruebas que involucran líneas perpendiculares

Pruebas que involucran líneas perpendiculares

Geometría

  • Demostrar relaciones entre líneas
  • Pruebas que involucran líneas perpendiculares
  • Vamos a ponernos en paralelo
  • Pruebas sobre ángulos alternos
  • Líneas paralelas y ángulos suplementarios
  • Usar el paralelismo para demostrar la perpendicularidad
  • Demostrar que las líneas son paralelas

Comenzaré con una revisión de lo que ha aprendido sobre las líneas. Siempre que tenga dos líneas, solo puede suceder una de tres cosas: o son la misma línea, son líneas paralelas o las dos líneas se cruzan en un punto. Si las dos líneas se cruzan en un punto, los ángulos verticales formados son congruentes. Las líneas que se cruzan forman un par de ángulos agudos y un par de ángulos obtusos, o las líneas que se cruzan forman cuatro ángulos rectos. Cuando las líneas se unen para formar cuatro ángulos rectos, las líneas son perpendiculares.



El hecho principal a establecer sobre las líneas perpendiculares tiene que ver con la singularidad. Recuerde que el punto medio de un segmento de línea y la bisectriz de un ángulo son únicos. Aprendiste que si te dan un punto y una línea, hay una línea única que pasa por ese punto que es perpendicular a la línea. Ahora tiene las habilidades para establecer la propiedad de unicidad de las líneas perpendiculares.

muéstrame los 50 estados
  • Teorema 10.1 : Dado un punto A en una línea l, existe una línea única m perpendicular a l que pasa por A.
  • Ejemplo 1 : Escriba una prueba formal para el teorema 10.1.
  • Solución : Comience con un plan de juego sobre cómo abordar el problema. La figura 10.1 muestra una línea ly un punto A en l. Quiere mostrar que hay una línea única m perpendicular a l que pasa por A. La forma en que demostró la unicidad en ejemplos anteriores fue suponer que había dos y obtener una contradicción. Ese es el mismo enfoque que se debe tomar aquí.

Figura 10.1Una línea ly un punto A en l.

El dibujo que usará para su demostración necesita dos líneas distintas, myn, que pasan por A y son perpendiculares a l. La figura 10.2 ilustra esa situación. La contradicción que obtendrás implica el postulado del transportador. Recuerda que cuando dos líneas son perpendiculares, se encuentran para formar ángulos rectos. Las líneas my l forman 3. Las líneas n y l forman 2. Debido a que myn son rectas distintas que se encuentran en A, cuando se cruzan formarán? 1. Juntos? 1,? 2 y? 3 forman el ángulo recto? BAC, por lo que la suma de sus medidas debe ser 180. Pero si m? 2 = 90 ym? 3 = 90, ha contabilizado todos los 180. ¿No quedan más grados para formar? 1. Ahí es donde radica el problema: m? 1 = 0, lo que contradice el postulado del transportador. Ahora que tiene un plan de juego, puede escribir la prueba formal. En este punto, debería sentirse cómodo con el formato de una prueba formal, así que seguiré los pasos.

Figura 10.2 Dos líneas distintas, myn, que pasan por A y son perpendiculares a l.

  • Teorema 10.1 : Dado un punto A en una línea l, existe una línea única m perpendicular a l que pasa por A.
  • El dibujo se muestra en la Figura 10.2.
  • Dada una recta ly un punto A en l, suponga que hay dos rectas, myn, que pasan por A y son perpendiculares a l.
  • Demuestre que m? 1 = 0
  • Prueba: en lo que respecta a un plan de juego, ya he esbozado la mayor parte de la prueba. Utilizará la definición de un ángulo recto, el Postulado de la suma de ángulos y el Postulado del transportador.
DeclaracionesRazones
1.Los puntos A, B y C se encuentran en una línea l, y myn son líneas distintas que pasan por A y son perpendiculares a lDado
2.? BAC es un ángulo recto y m? BAC = 180Definición de ángulo recto
3.m? 1 + m? 2 + m? 3 = m? BACPostulado de la suma de ángulos
4.m? 1 + m? 2 + m? 3 = 180Sustitución (pasos 2 y 3)
5.? 2 es un ángulo rectoDefinición de perpendicular (n? 1)
6.? 3 es un ángulo rectoDefinición de perpendicular (m? 1)
7.m? 2 = 90, m? 3 = 90Definición de ángulo recto
8.m? 1 + 90 + 90 = 180Sustitución (pasos 4 y 7)
9.m? 1 = 0Álgebra

Ha establecido su contradicción y, por lo tanto, la suposición de que había dos líneas distintas perpendiculares a l que pasaban por A era falsa. Se establece la singularidad.

Oklahoma en el mapa

Extraído de The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 por Denise Szecsei, Ph.D .. Todos los derechos reservados, incluido el derecho de reproducción total o parcial en cualquier forma. Usado por acuerdo con Libros Alfa , miembro de Penguin Group (USA) Inc.

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