Geometría: ¿Cómo se relaciona esto con el círculo unitario?

¿Cómo se relaciona esto con el círculo unitario?

Geometría

  • El círculo unitario y la trigonometría
  • La relación de tangente
  • La relación sinusoidal
  • La relación coseno
  • Y el resto
  • ¿Cómo se relaciona esto con el círculo unitario?

Nuestras razones trigonométricas se definieron dentro de los límites de un triángulo rectángulo. Debido a que las medidas de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo suman 180, y uno de estos ángulos tiene una medida igual a 90, los otros dos ángulos de un triángulo rectángulo deben ser ángulos agudos. Entonces, solo puede encontrar las razones trigonométricas de los ángulos agudos. Eso es demasiado limitante.



Las relaciones de seno, coseno y tangente se pueden definir para cualquier ángulo, no solo para ángulos agudos. Pero para hacer esto, debes incrustar un triángulo rectángulo en un círculo. Aunque podrías usar cualquier círculo, las cosas funcionan bien si usas el 'círculo unitario'. Quizás se pregunte qué es el círculo unitario y por qué debería usar ese círculo en particular. Bueno, el círculo unitario es un círculo con radio igual a 1. Insertemos un triángulo rectángulo en un círculo unitario y veamos qué sucede. Utilice la Figura 20.9 como guía.

Figura 20.9 Un triángulo rectángulo incrustado en el círculo unitario.

Cada uno de los vértices del triángulo tendrá alguna característica especial, pero las codiciadas propiedades se distribuyen de manera que un vértice no se vea como? Mejor? que cualquier otro. Mantenga el vértice A en el centro del círculo. No está permitido moverse desde ese punto. Piense en el vértice A como si estuviera en un 'tiempo de espera' trigonométrico. El vértice B está obligado a situarse en el círculo. Puede moverse alrededor del círculo y ocupar el lugar que quiera, pero debe permanecer en el círculo. La única propiedad agradable que queda es el ángulo recto del triángulo, por lo que por proceso de eliminación? C es el ángulo recto. Hay una última restricción. Mantenga fijo el diámetro en el que se encuentra C (en este caso, XY) y deje que B se mueva alrededor del círculo.

La hipotenusa de su triángulo tiene un punto final ubicado en el centro del círculo y el otro punto final en el círculo. Como estás trabajando con el círculo unitario, tu hipotenusa tiene una longitud 1. Recuerda que las razones de seno y coseno involucran la longitud de la hipotenusa en el denominador. No puedes tener un denominador de razón más agradable que 1. Esa es la ventaja de trabajar en el círculo unitario.

Ahora, deje que B se mueva alrededor del círculo y siempre incruste un triángulo rectángulo dejando caer un segmento de línea perpendicular de B a XY. En la Figura 20.10, he mostrado cuatro ubicaciones diferentes para B y los correspondientes triángulos rectángulos incrustados que resultan. Observe que la orientación del triángulo rectángulo cambia, pero la hipotenusa es siempre el segmento de línea AB.

Figura 20.10 Cuatro triángulos rectángulos incrustados en el círculo unitario, según la ubicación del vértice B.

Siempre que hable de? A, siempre debe referirse a? BAC, un ángulo interior de su triángulo. Las razones trigonométricas siempre serán

  • tan ?A =a/b, sin ?A =a/cy cos? A =b/c.

Estos siempre serán números positivos, porque la longitud de cualquier lado es positiva (según el Postulado de la regla). Estas relaciones se pueden simplificar un poco porque está limitado a trabajar en el círculo unitario:

  • tan ?A =a/b, Entonces? A = a, y cos? A = b

Ahora que el escenario está listo, estoy listo para hablar sobre las relaciones trigonométricas de cualquier ángulo (no solo los ángulos agudos). Dividiré el círculo en cuartos y discutiré los ángulos que caen en cada cuarto uno a la vez. Los ángulos que caen en el primer cuarto son ángulos agudos, y ya he discutido las razones trigonométricas de los ángulos agudos.

Para el segundo trimestre, suponga que tiene un ángulo obtuso?, Como se muestra en la figura 20.11. Entonces, el suplemento de este ángulo obtuso es un ángulo agudo. Incruste un triángulo como el de la figura 20.10 (b) y defina las razones trigonométricas de? basado en las razones trigonométricas de? A: sin? = pecado? A, cos? = - cos A y tan? = - ¿bronceado? Observe que la razón de seno de un ángulo obtuso tiene el mismo valor numérico que la razón de seno de su complemento agudo, mientras que las razones de coseno y tangente de un ángulo obtuso tienen el mismo valor absoluto que las razones de coseno y tangente de su suplemento, pero tienen el signo contrario.

Figura 20.11 Un círculo con un ángulo central obtuso y el correspondiente triángulo incrustado.

Sigamos dando la vuelta al círculo. El tercer cuarto incluye ángulos cuya medida está entre 180 y 270, como se muestra en la Figura 20.12. Incruste un triángulo en este círculo similar al que se muestra en la figura 20.10 (c) y nuevamente defina las razones trigonométricas de este tipo de ángulos con base en las razones trigonométricas de los ángulos agudos. Todo lo que necesitas hacer es cambiar algunas señales (dos señales, en realidad): ¿pecado? = - ¿pecado? ¿A, cos? = - cos A y tan? = bronceado? Observe que los signos de la razón de seno y coseno son negativos y la razón de tangente es positiva.

Figura 20.12 Un círculo con un ángulo central entre 180 y 270, y el correspondiente triángulo incrustado.

¡Un trimestre más y te gradúas! Este último cuarto involucra ángulos cuya medida está entre 270 y 360, como se muestra en la Figura 20.13. En este caso, incruste un triángulo rectángulo como lo hizo en la figura 20.10 (d) y defina las razones trigonométricas del ángulo basándose en la razón trigonométrica de su ángulo interior agudo correspondiente. Una vez más, se cambiarán dos signos: ¿pecado? = - ¿pecado? ¿A, cos? = cos A y tan? = - ¿bronceado? Esta vez, la razón del coseno se mantiene positiva y las razones del seno y la tangente son negativas.

Figura 20.13 Un círculo con un ángulo central entre 270 y 360, y el correspondiente triángulo incrustado.

¡Eureka!

Las razones trigonométricas de los ángulos no agudos tienen la misma magnitud que las razones trigonométricas de sus correspondientes ángulos agudos. Dos de las tres razones son negativas y una permanece positiva. A medida que recorre el círculo en el sentido contrario a las agujas del reloj, comience con TODAS las relaciones positivas, luego la relación SENO se mantiene positiva, luego la relación TANGENTE es positiva y, finalmente, la relación COSENO llega a su turno. Si tiene problemas para recordar qué proporción es positiva y dónde, hay un famoso mnemónico disponible para ayudarlo: A ll S estudiantes T ake C álculo? A ll S otro T enojado C osine.

Esta es solo la punta del iceberg trigonométrico. ¡Podría llenar un libro entero con solo el material discutido en una clase de trigonometría! ¡Comenzaré con ese libro justo después de terminar esto!

Esta es tu oportunidad de brillar. Recuerde que estoy con usted en espíritu y le he dado las respuestas a estas preguntas en la Clave de respuestas.

  1. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo con razón de tangente3/5, encuentra la razón sinusoidal de ese ángulo.
  2. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo con una razón de seno de1/2, encuentra la razón de la tangente de ese ángulo.
  3. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo con razón de coseno3/7, encuentra las razones de seno y tangente del ángulo.
  4. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo con razón de seno5/9, encuentra las razones de tangente y coseno del ángulo.

Extraído de The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 por Denise Szecsei, Ph.D .. Todos los derechos reservados, incluido el derecho de reproducción total o parcial en cualquier forma. Usado por acuerdo con Libros Alfa , miembro de Penguin Group (USA) Inc.

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