Contempla el poder de los exponentes

Contempla el poder de los exponentes

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Es posible que haya visto pequeños números flotando arriba y a la derecha de otros números y variables, como en la expresión x 3. ¿Qué está haciendo ese pequeño 3 ahí arriba? ¿Parasailing? ¿Es pequeño debido a la escala, tal vez porque en realidad es tan grande como el sol de la Tierra, pero solo se ve desde cientos de miles de millas de distancia? No, ese pequeño se llama exponente o poder de x en la expresión, y de hecho tiene una muy poder papel pleno en el álgebra.



Predicar con el ejemplo

En la expresión exponencial y 4, 4 es el exponente y y es el base .

Las mejores cosas vienen en frascos pequeños

El papel de un exponente es ahorrarle tiempo y limpiar la forma en que se escriben las expresiones. Básicamente, un exponente es una forma abreviada de indicar multiplicación repetida.

En el lenguaje del álgebra, x 3 (leer ' x a la tercera potencia ') significa' x multiplicado por sí mismo tres veces ', o x x x . Para encontrar el valor de los números reales elevados a exponentes, simplemente multiplique el número grande adjunto al exponente (llamado base ) por sí solo el número de veces indicado.

Ejemplo 2 : Evalúa las expresiones exponenciales.

  • (a) 43
  • Solución : En esta expresión, 4 es la base y 3 es el exponente. Para encontrar la respuesta, multiplique 4 por sí mismo 3 veces:
  • 4 4 4 = 16 4 = 64
  • Por lo tanto, 43= 64.
  • (b) (-2)5
  • Solución : En este caso, la base es -2, por lo que debe multiplicarse por sí mismo 5 veces. No se preocupe por los signos negativos. Simplemente ve de izquierda a derecha y multiplica dos números a la vez. Comience con (-2) (-2) para obtener 4 y luego multiplique ese resultado por el siguiente -2, y ese resultado por el siguiente -2 hasta que haya terminado.
  • (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = 4(-2)(-2)(-2) = -8(-2)(-2) = 16(-2) = -32
Punto crítico

Dos exponentes tienen nombres especiales. Todo lo elevado a la segunda potencia se dice que es al cuadrado (52puede leerse '5 al cuadrado'), y cualquier cosa a la tercera potencia se dice que es cubicado (x3se puede leer 'x al cubo').

Tienes problemas

Problema 2: Evalúa la expresión: (-3)4.

Reglas exponenciales

Una vez que escribe algo en forma exponencial, hay reglas muy específicas que debe seguir para simplificar expresiones. Aquí están las cinco reglas más importantes, cada una con una breve explicación:

  • Regla 1 : x a x b = x a + b . Si se multiplican expresiones exponenciales con la misma base, el resultado es la base común elevada a la suma de los poderes.
x 4 x 7= x 4 + 7= x 11(22)(23) = 22 + 3= 25
  • Regla 2 : x a x b= x a-b . Si está dividiendo expresiones exponenciales con la misma base, el resultado es la base común elevada a la diferencia de los dos poderes.
  • Con 7 Con 4= Con 7 - 4= z3(-5)10(-5)9= (-5)1= -5
Punto crítico

Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al número original ( x 1= x ); entonces, si no hay poder escrito, se entiende que es 1 (7 = 71). Además, cualquier cosa (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1 (x0= 1, 120= 1). La expresión 00funciona de manera un poco diferente, pero no se ocupa de eso hasta el cálculo.

  • Regla 3 : ( x a )b= x a b . Si una expresión exponencial se eleva a una potencia, multiplique los exponentes. Esto es diferente de la Regla 1, porque aquí hay una base elevada a dos potencias, y en la Regla 1, había dos bases elevadas a dos potencias.
  • (35)6= 35 6= 330( para 2)0= para 2 0= para 0= 1
  • Regla 4 : ( xy ) a = x a y a y (xy)a= x a y a. Si un producto (problema de multiplicación) o cociente (problema de división) o cualquier combinación de este tipo se eleva a una potencia, entonces también lo es cada pieza individual que contiene.
  • (5 y )2= 52 y 2= 25 y 2(x2y3)4= ( x 2)4( y 3)4= x 8 y 12
  • Regla 5 : x -a = 1 x - a y 1 x - a = x a . Si algo se eleva a una potencia negativa, muévelo a la otra parte de la fracción (si está en el numerador, envíalo al denominador y viceversa) y cambia el exponente a su opuesto. Si la expresión contiene otros exponentes positivos, déjelos en paz.
  • La mayoría de los profesores consideran que las respuestas que contienen exponentes negativos no son simplificadas. , así que asegúrese de eliminar los exponentes negativos de su respuesta final. Además, tenga en cuenta que elevar algo a la potencia -1 es equivalente a tomar su recíproco.
x -3 y 2 Con 3= y 2 x 3 Con3 (42 en 5)-1=42(-1) en 5(-1)=4-2 en -5=en516

La mayoría de las veces, tendrá que aplicar varias reglas durante el mismo problema, en sus intentos de simplificar.

Ejemplo 3 : Simplifica la expresión ( x 2 y -3)2( xy 2)4.

Solución : Empiece por aplicar las Reglas 3 y 4 al numerador y al denominador.

  • x 2 2 y -3 2 x 1 4 y 2 4= x 4 y -6 x 4 y 8

Ahora aplique la Regla 2, ya que tiene bases coincidentes en el numerador y denominador.

Tienes problemas

Problema 3: Simplifique la expresión ( x 3y)5( x -2y2)3.

  • ( x 4 - 4)( y -6 - 8) = x 0 y -14= y -14

Termine aplicando la Regla 5.

  • y -14=1 y 14
Álgebra CIG

Extraído de The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 por W. Michael Kelley. Todos los derechos reservados, incluido el derecho de reproducción total o parcial en cualquier forma. Usado por acuerdo con Libros Alfa , miembro de Penguin Group (USA) Inc.

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